Talstelsels

Tientallig talstelsel

Decimaal betekent tientallig. Het decimale talstelsel is een systeem om getallen weer te geven met behulp van de tien cijfers 0 tot en met 9. De naam is afgeleid van het Latijnse woord voor tiende (decimus).

Opbouw van getallen

De 10 cijfers van het decimale systeem zijn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Door combinaties (achter elkaar plaatsen) van deze cijfers kunnen alle natuurlijke getallen verkregen worden. Met bijvoorbeeld de combinatie "427" wordt het getal bedoeld dat bestaat uit vier honderdtallen, twee tientallen en zeven eenheden.

Formeler: De combinatie "rnrn-1...r0" vertegenwoordigt het getal: rn◊10n+rn-1◊10n-1+...+r0◊100. Ieder natuurlijk getal kan op een unieke manier door zo'n combinatie worden vertegenwoordigd. Ieder cijfer in een getal heeft een eigen waarde die hangt af van de plaats die het cijfer in een getal heeft. Iedere positie vertegenwoordigt een bepaalde macht van tien (het principe van een positiestelsel met grondtal tien).

Het getal 231475923 = 231.475.923 = Tweehonderdeenendertigmiljoen vierhonderdvijfenzeventigduizend negenhonderddrieŽntwintig, bestaat uit de volgende onderdelen:

Decimale breuken

De notatie kan worden uitgebreid om decimale breuken, dus breuken met een macht van 10 als noemer, weer te geven. Het idee is dat elke eenheid kan worden opgedeeld in 10 tienden, een tiende weer in 10 honderdsten, etc. Formeel wordt gebruikgemaakt van negatieve machten.

In het getal wordt na het cijfer dat de eenheden weergeeft, een komma geplaatst, en vervolgens gaat men gewoon verder met het systeem: het eerstvolgende cijfer geeft het aantal malen 10-1 (dus tienden) aan, het daaropvolgende cijfer het aantal malen 10-2 (honderdsten), enzovoort. Dit wordt voortgezet totdat er achter de komma net zoveel cijfers staan als de macht van 10 van de noemer. Niet elke breuk is echter een decimale breuk. Wel kan elke breuk willekeurig dicht benaderd worden door een decimale breuk. Een breuk die geen decimale breuk is, kan niet op de gewone manier met een eindig aantal cijfers weergegeven worden. Elke breuk is echter een decimale breuk of een repeterende breuk, waarin een groep decimale cijfers zich gaat herhalen.

Met het getal 24,31 wordt bedoeld: 2 tientallen + 4 eenheden + 3 tienden + 1 honderdste.

De plaats van de komma in het getal is in deze notatie cruciaal: het is het referentiepunt waaraan gezien kan worden welk deel van het getal de gehele waarden representeert en welk deel de fracties. Het eerste cijfer links van de komma geeft de eenheden weer, het eerste cijfer rechts van de komma de tienden. Indien er geen fractioneel deel aanwezig is, wordt de komma ook weggelaten: het laatste cijfer is in dat geval het referentiepunt.

 

Binair talstelsel

Het binaire of tweetallige getalsysteem is een positiestelsel, waarin een getal wordt voorgesteld door een rijtje van de cijfers 0 en 1. Een dergelijk cijfer wordt in deze context een bit genoemd.

Een binaire variabele is een variabele die twee elkaar uitsluitende waarden kan aannemen, zoals 0 of 1, Ja of Nee, Waar of Onwaar, Aan of Uit.

In een tweetallig talstelsel staat bijvoorbeeld 0110 voor het getal 6 in het decimale stelsel.

Van binair naar decimaal

Om een binair getal te vertalen naar een decimaal getal, hoeft men slechts te kijken naar de posities waar een 1 staat. Voor ieder binair cijfer 1 berekent men de door de positie van dit cijfer aangegeven macht van twee, en wel: 2positie - 1. De som van de op deze wijze berekende reeks decimale getallen geeft de waarde van het binaire getal decimaal weer. De eerste positie is de meest rechtse en komt overeen met het getal 1. De tweede positie, de tweede van rechts, komt overeen met het getal 2, de derde van rechts met 4, enz.

Binair 2(positie van de 1) - 1 Decimaal Binair 2(positie van de 1) - 1 Decimaal
100000 25 32      
010000 24 16 010000 24 16
001000 23 8      
000100 22 4 000100 22 4
000010 21 2      
000001 20 1 000001 20 1
111111 25+24+23+22+21+20 63 010101 24+22+20 21

Simpel gezegd: Bereken voor elk cijfer 1 in het binaire getal, de overeenkomstige macht van 2. Een binair getal van 6 cijfers, bijvoorbeeld 111111, wordt vertaald in (van links naar rechts) 32, 16, 8, 4, 2 en 1. De som 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63 is de decimale waarde van dit binaire getal. Zo wordt 010101 16 + 4 + 1 = 21 in decimale waarden.

 

Octaal talstelsel

Het octale talstelsel werkt niet zoals het decimale met het grondtal 10 maar met het grondtal 8. Men heeft daarin alleen de beschikking over de cijfers 0 t/m 7.
 
voor 8 (decimaal) schrijft men 10 (ofwel 1 x 81 + 0 x 80)
vo/sup> 2       000001 20 1 000001 20 1 111111 25+24+23+22+21+20 63 010101 24+22+20 21

Simpel gezegd: Bereken voor elk cijfer 1 in het binaire getal, de overeenkomstige macht van 2. Een binair getal van 6 cijfers, bijvoorbeeld 111111, wordt vertaald in (van links naar rechts) 32, 16, 8, 4, 2 en 1. De som 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63 is de decimale waarde van dit binaire getal. Zo wordt 010101 16 + 4 + 1 = 21 in decimale waarden.

 

Octaal talstelsel

Het octale talstelsel werkt niet zoals het decimale met het grondtal 10 maar met het grondtal 8. Men heeft daarin alleen de beschikking over de cijfers 0 t/m 7.
 
voor 8 (decimaal) schrijft men 10 (ofwel 1 x 81 + 0 x 80)
voor 9 (decimaal) schrijft men 11 (ofwel 1 x 81 + 1 x 80)
voor 16 (decimaal) schrijft men 20 (ofwel 2 x 81 + 0 x 80)
enz.

Het octale stelsel is vooral in de beginjaren van de computer in zwang geweest om binaire gegevens overzichtelijker weer te geven. Omdat de huidige computers vrijwel altijd rekenen met even aantallen bits is de toepassing het octale stelsel (groepering in 3 bits) in de praktijk niet meer zo handig, en wordt bij representatie van binaire gegevens meestal